Forme algébrique à partir d'un module et d'un argument - Corrigé

Énoncé

Dans chaque cas, donner la forme algébrique du nombre complexe z tel que :

1. \(\left\vert z \right\vert = 4\)  et  \(\arg(z) \equiv \pi \ [2\pi]\)

2. \(\left\vert z \right\vert = \sqrt{5}\)  et  \(\arg(z) \equiv -\dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]\)

3. \(\left\vert z \right\vert = 1\)  et  \(\arg(z) \equiv -\dfrac{\pi}{3} \ [2\pi]\)
4. \(\left\vert z \right\vert = 4\)  et  \(\arg(z) \equiv -\dfrac{\pi}{6} \ [2\pi]\)

5. \(\left\vert z \right\vert = \sqrt{3}\)  et \(\arg(z) \equiv \dfrac{5\pi}{4} \ [2\pi]\)

Solution

1. On a : \(\begin{align*}z&=4\left(\cos (\pi)+i\sin(\pi)\right)=4\left(-1+i \times 0\right)=-4.\end{align*}\)

2. On a : \(\begin{align*}z&=\sqrt{5}\left(\cos \frac{-\pi}{2}+i\sin\frac{-\pi}{2}\right)=\sqrt{5}\left(0+i \times (-1)\right)=-\sqrt{5}i.\end{align*}\)

3. On a : \(\begin{align*}z&=1\left(\cos \frac{-\pi}{3}+i\sin\frac{-\pi}{3}\right)=1\left(\frac{1}{2}+i\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{align*}\)

4. On a : \(\begin{align*}z&=4\left(\cos \frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right)=4\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right)=-2\sqrt{3}+2i.\end{align*}\)

5. On a : \(\begin{align*}z&=\sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)=\sqrt{3}\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}+i\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}-i\frac{\sqrt{6}}{2}.\end{align*}\)